Lösungen

Aufgabe 1 – DAG

Plausibler DAG:

Alter → Diabetes
Alter → Mortalität
Alter → SOFA
Aufnahmegrund → SOFA
Aufnahmegrund → Mortalität
Diabetes → SOFA → Mortalität
Diabetes → Mortalität

Alter ist der Confounder: Es verursacht Diabetes und Mortalität. Der Aufnahmegrund ist in diesem DAG kein Confounder des Diabetes-Effekts, weil kein Pfeil von ihm zu Diabetes führt; er wirkt auf SOFA und Mortalität. SOFA ist ein Mediator (Diabetes → SOFA → Mortalität). Ob eine Variable Confounder oder Mediator ist, entscheidet ihre zeitliche und kausale Stellung, nicht die Fragestellung: Ein vor dem Diabetes gemessener Schweregrad könnte Confounder sein, der SOFA bei Aufnahme ist es hier nicht.

Nicht blind adjustieren sollte man für SOFA, und zwar aus zwei Gründen: Es blockiert den vermittelten Teil des Effekts, und es ist zugleich ein Kollider auf dem Pfad Diabetes → SOFA ← Aufnahmegrund → Mortalität. Wer für SOFA adjustiert, öffnet diesen Pfad, solange der Aufnahmegrund nicht mit im Modell steht.

Aufgabe 2 – Crude vs. adjustiert

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf

df = pd.read_csv("https://datascience.medizin.dev/data/kohorte.csv")
crude = smf.logit("verstorben_30d ~ diabetes", data=df).fit(disp=False)
adj = smf.logit("verstorben_30d ~ diabetes + alter", data=df).fit(disp=False)
adj_sofa = smf.logit("verstorben_30d ~ diabetes + alter + sofa_score", data=df).fit(disp=False)

for name, fit in [("crude", crude), ("adjusted (alter)", adj), ("adjusted (alter+sofa)", adj_sofa)]:
    ci = fit.conf_int().loc["diabetes"]
    print(name, np.exp(fit.params["diabetes"]), np.exp(ci).tolist())

Ergebnis auf den Kursdaten: crude OR ≈ 2,07, adjustiert nur für den Confounder Alter ≈ 1,59, zusätzlich für SOFA adjustiert ≈ 0,99 (praktisch kein Effekt mehr). Die ersten beiden Zahlen schätzen den totalen Effekt von Diabetes auf die Mortalität (Alter ist laut DAG ein Confounder, SOFA nicht im Modell). Die dritte Zahl schätzt stattdessen den direkten Effekt, der nicht über SOFA vermittelt wird, denn SOFA liegt laut DAG (Aufgabe 1) auf dem kausalen Pfad Diabetes → SOFA → Mortalität. Auch als direkter Effekt ist die 0,99 nur belastbar, wenn der Aufnahmegrund mit im Modell steht (Kollider-Pfad aus Aufgabe 1); das 95-%-KI [0,52; 1,87] ist ohnehin zu breit für eine Aussage. Für die Frage „Wie stark beeinflusst Diabetes insgesamt die Mortalität?“ ist die alter-adjustierte Zahl (≈ 1,59) die richtige Antwort, nicht die SOFA-adjustierte.

Aufgabe 3 – Propensity Score

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np

# Only confounders go into the PS model: alter. Per the DAG, sofa_score is a mediator
# on the diabetes path and does NOT belong in it (task 1).
X = df[["alter"]]
y = df["diabetes"].astype(int)
ps_model = LogisticRegression(max_iter=1000).fit(X, y)
df["ps"] = ps_model.predict_proba(X)[:, 1]
df["iptw"] = np.where(y.eq(1), 1 / df["ps"], 1 / (1 - df["ps"]))
print(df[["diabetes", "ps", "iptw"]].describe())

Sehr große Gewichte sind Warnzeichen für fehlende Positivität.

Aufgabe 4 – Balance

import numpy as np

def smd(x, group, weights=None):
    x = np.asarray(x)
    g = np.asarray(group).astype(bool)
    if weights is None:
        m1, m0 = x[g].mean(), x[~g].mean()
        v1, v0 = x[g].var(ddof=1), x[~g].var(ddof=1)
    else:
        w = np.asarray(weights)
        m1 = np.average(x[g], weights=w[g])
        m0 = np.average(x[~g], weights=w[~g])
        v1 = np.average((x[g] - m1) ** 2, weights=w[g])
        v0 = np.average((x[~g] - m0) ** 2, weights=w[~g])
    return (m1 - m0) / np.sqrt((v1 + v0) / 2)

for col in ["alter", "sofa_score"]:
    print(col, "raw", smd(df[col], df["diabetes"]),
          "weighted", smd(df[col], df["diabetes"], df["iptw"]))

Auf den Kursdaten: alter raw SMD ≈ 0,58 → nach IPTW ≈ 0,13, also deutlich näher an Balance, wie erwartet, da alter das PS-Modell bestimmt hat. Die Zielmarke 0,1 ist damit aber noch nicht erreicht; ein flexibleres PS-Modell (Alter als Spline) wäre der nächste Schritt. sofa_score bleibt bei roher SMD ≈ 0,54 nahezu unverändert (es fließt nicht ins PS-Modell ein). Das ist kein Fehler: sofa_score ist ein Mediator, kein Confounder, Balance dort ist kein sinnvolles Ziel für diese PS-Analyse, und ein Versuch, es zu balancieren, würde den Diabetes-Effekt verzerren (vgl. Aufgabe 2). Ein Zielwert SMD < 0,1 ist ein häufiger pragmatischer Standard, aber nur für tatsächliche Confounder.

Aufgabe 5 – Interpretation

Beispiel:

Die Analyse schätzt den Diabetes-Mortalitäts-Zusammenhang unter Adjustierung für gemessene Confounder. Da es sich um Beobachtungsdaten handelt und ungemessene Confounder möglich bleiben, ist die Schätzung als annahmenabhängig und nicht als kausaler Beweis zu interpretieren.